ГЕОМЕТРИЯ
найдите: sin a и tg a, если cos a=2/3
ГЕОМЕТРИЯ
найдите: sin a и tg a, если cos a=2/3
Для решения задачи, в которой известно значение косинуса угла (cos a = 2/3), нам понадобится воспользоваться основными тригонометрическими тождествами.
Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]
Подставляем известное значение косинуса: [ \sin^2 a + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 ] [ \sin^2 a + \frac{4}{9} = 1 ] [ \sin^2 a = 1 - \frac{4}{9} ] [ \sin^2 a = \frac{5}{9} ]
Отсюда, (\sin a = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}). Знак значения синуса зависит от того, в какой четверти находится угол (a). Если угол (a) находится в первой или второй четверти, то синус будет положительным, если в третьей или четвертой — отрицательным. Поскольку в условии не указано, в какой четверти находится угол, мы можем рассматривать только положительный корень, если не указано иное.
Тангенс угла (a): Тангенс угла (a) выражается через соотношение синуса к косинусу: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ]
Подставляем найденные значения: [ \tan a = \frac{\pm\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} ] [ \tan a = \pm\frac{\sqrt{5}}{2} ]
Итак, в зависимости от того, в какой четверти находится угол (a), (\sin a = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}) и (\tan a = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}). Если нет дополнительной информации о четверти, в которой находится угол, мы можем предположить, что оба значения принимаются в положительной форме, если угол находится в первой четверти.
Для того чтобы найти sin a и tg a, когда известно, что cos a = 2/3, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами.
Известно, что cos^2 a + sin^2 a = 1, поэтому можно найти sin a:
cos^2 a + sin^2 a = 1 (2/3)^2 + sin^2 a = 1 4/9 + sin^2 a = 1 sin^2 a = 1 - 4/9 sin^2 a = 5/9
Отсюда находим sin a:
sin a = √(5/9) sin a = √5/3
Теперь найдем tg a:
tg a = sin a / cos a tg a = (√5/3) / (2/3) tg a = √5/2
Итак, sin a = √5/3 и tg a = √5/2 при условии, что cos a = 2/3.
sin a = sqrt(1 - cos^2 a) = sqrt(1 - (2/3)^2) = sqrt(1 - 4/9) = sqrt(5/9) = sqrt(5) / 3
tg a = sin a / cos a = (sqrt(5) / 3) / (2 / 3) = sqrt(5) / 2
