ГЕОМЕТРИЯ найдите: sin a и tg a, если cos a=2/3

Для решения задачи, в которой известно значение косинуса угла $cosa=2/3$, нам понадобится воспользоваться основными тригонометрическими тождествами.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$

   Подставляем известное значение косинуса: ${\sin }^{2}a+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1$ ${\sin }^{2}a+\frac{4}{9}=1$ ${\sin }^{2}a=1-\frac{4}{9}$ ${\sin }^{2}a=\frac{5}{9}$

   Отсюда, $\sin a=\pm \sqrt{\frac{5}{9}}=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. Знак значения синуса зависит от того, в какой четверти находится угол $a$. Если угол $a$ находится в первой или второй четверти, то синус будет положительным, если в третьей или четвертой — отрицательным. Поскольку в условии не указано, в какой четверти находится угол, мы можем рассматривать только положительный корень, если не указано иное.

2. Тангенс угла $a$: Тангенс угла $a$ выражается через соотношение синуса к косинусу: $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$

   Подставляем найденные значения: $\tan a=\frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$ $\tan a=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Итак, в зависимости от того, в какой четверти находится угол $a$, $\sin a=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\tan a=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$. Если нет дополнительной информации о четверти, в которой находится угол, мы можем предположить, что оба значения принимаются в положительной форме, если угол находится в первой четверти.

Для того чтобы найти sin a и tg a, когда известно, что cos a = 2/3, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Известно, что cos^2 a + sin^2 a = 1, поэтому можно найти sin a:

cos^2 a + sin^2 a = 1 $2/3$^2 + sin^2 a = 1 4/9 + sin^2 a = 1 sin^2 a = 1 - 4/9 sin^2 a = 5/9

Отсюда находим sin a:

sin a = √$5/9$ sin a = √5/3

Теперь найдем tg a:

tg a = sin a / cos a tg a = $\surd 5/3$ / $2/3$ tg a = √5/2

Итак, sin a = √5/3 и tg a = √5/2 при условии, что cos a = 2/3.

sin a = sqrt$1-co{s}^{2}a$ = sqrt$1-(2/3$^2) = sqrt$1-4/9$ = sqrt$5/9$ = sqrt$5$ / 3

tg a = sin a / cos a = $sqrt(5$ / 3) / $2/3$ = sqrt$5$ / 2