Произведение чисел умножили на их разность. Могло ли получиться 30. --------------------------------...

Для начала рассмотрим случай, когда все надписи на дверях верные. Тогда в каждой комнате будет по одному мальчику, и все надписи на дверях будут верными.

Теперь предположим, что в каждой комнате на самом деле находится по два мальчика. Тогда все надписи на дверях будут ложными, так как каждая надпись утверждает, что в комнате только один мальчик.

Из условия известно, что среди всех надписей ровно три ложные. Предположим, что в каждой комнате находится только один мальчик, тогда все надписи, кроме трех, будут верными. Таким образом, в одной из комнат действительно должно быть три мальчика.

Таким образом, можно утверждать, что в одной из комнат действительно находятся три мальчика.

Первый вопрос: Произведение чисел умножили на их разность. Могло ли получиться 30.

Допустим, у нас есть два числа (a) и (b). Тогда искомое выражение (ab \cdot (a - b)). Перепишем это в другом виде: (a^2b - ab^2). Для упрощения рассмотрим случай, когда оба числа положительные или одно из них равно нулю.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть (a = 5) и (b = 3). Тогда (ab = 15) и (a - b = 2). Подставляем в выражение: (15 \cdot 2 = 30). Это подходит.

2. Пусть (a = 6) и (b = 3). Тогда (ab = 18) и (a - b = 3). Подставляем в выражение: (18 \cdot 3 = 54). Это уже не подходит.

Таким образом, подобрать такие числа (a) и (b), чтобы их произведение, умноженное на их разность, дало 30, вполне возможно.

Второй вопрос: Можно ли расположить числа 1, 2, ., 8 так, чтобы сумма любых трёх рядом стоящих чисел была больше 13.

Возьмем сумму всех чисел от 1 до 8, которая равна (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36). Теперь предположим, что сумма любых трех последовательных чисел больше 13. Поскольку числа распределены по кругу, то мы можем представить, что существует 8 таких троек (с перекрытиями). Так как каждое число входит в три такие тройки, общая сумма всех троек будет (3 \times 36 = 108), но каждая тройка считается три раза (одна и та же сумма добавляется три раза), значит, если каждая тройка больше 13, то общая сумма троек должна быть больше (13 \times 8 = 104). Это противоречит факту, что сумма всех троек равна 108 и каждое число учитывается трижды. Следовательно, расставить числа таким образом невозможно.

Третий вопрос: Есть 100 комнат и 100 мальчиков, каждый из которых находится в одной из комнат. На двери каждой двери написано: "Здесь ровно один мальчик". Известно, что среди этих надписей ровно три неверные. Докажите, что в одной из комнат три мальчика.

Поскольку есть 100 мальчиков и 100 комнат, а три надписи неверны, это означает, что в трех комнатах количество мальчиков отличается от одного. Если предположить, что две комнаты пусты и в одной два мальчика, то это даст только 99 мальчиков, что меньше требуемого. Если предположить, что в одной комнате пусто, в одной два мальчика, и в одной три, это даст 101 мальчика, что тоже неверно. Однако если в трех комнатах по одному мальчику, и в одной три, это даст ровно 100 мальчиков, что соответствует условиям задачи. Таким образом, в одной из комнат должно быть три мальчика.