Сколькими способами можно расставить числа 1 и -1 во всех клетках таблицы 4x4 так, чтобы сумма всех...

Для того чтобы расставить числа 1 и -1 в таблице 4x4 таким образом, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была равна 0, необходимо соблюдать следующие правила:

1. В каждой строке должно быть ровно два числа 1 и два числа -1.
2. В каждом столбце должно быть ровно два числа 1 и два числа -1.

Такая задача сводится к нахождению количества способов построения так называемых "сбалансированных" матриц размером 4x4. Для её решения можно воспользоваться комбинаторным методом.

Разделим процесс на несколько шагов:

1. Выбор позиций для чисел 1 в первой строке: Для первой строки нужно выбрать 2 из 4 позиций для чисел 1. Количество способов сделать это равно: [ \binom{4}{2} = 6 ]

2. Выбор позиций для чисел 1 во второй строке: Во второй строке также должно быть 2 числа 1, но при этом нужно учитывать, что их сумма в столбиках не должна нарушаться. Для второго ряда также есть 6 возможных комбинаций. Однако, не все из этих комбинаций будут допустимыми, поскольку уже заданные позиции единиц в первой строке ограничивают выбор.

Для последующих строк и столбцов нужно продолжать учитывать уже выбранные позиции, чтобы обеспечить баланс 1 и -1.

1. Конкретные расчеты: В данной задаче мы столкнемся с тем, что для каждого выбора в первой строке (6 вариантов) количество допустимых вариантов для последующих строк может варьироваться. Это требует учёта всех допустимых конфигураций.

Проанализируем конкретные допустимые конфигурации для всех строк и столбцов. Для удобства можно использовать компьютерные программы, чтобы выполнить исчерпывающий перебор всех возможных вариантов и отсеять недопустимые.

При полном переборе всех вариантов, результатом будет 90 допустимых конфигураций:

1. Для каждой строки и столбца должно быть ровно 2 числа 1 и 2 числа -1.
2. Все возможные комбинации строк должны проверяться на удовлетворение условия по столбцам.

Итак, количество способов расставить числа 1 и -1 в таблице 4x4 так, чтобы сумма всех чисел в каждой строке и в каждом столбце была равна 0, составляет 90.

Всего существует 90 способов.

Для решения данной задачи можно воспользоваться методом перебора. Сначала рассмотрим количество способов расстановки чисел 1 и -1 в одной строке или одном столбце длиной 4. Для строки есть 2^4 = 16 способов (так как каждая клетка может быть либо 1, либо -1). То же самое касается и столбца. Таким образом, для каждой строки и каждого столбца имеется 16 вариантов. Учитывая, что у нас 4 строки и 4 столбца, общее количество способов будет равно 16^8 = 281474976710656. Именно столько способов можно расставить числа 1 и -1 в таблице 4x4 так, чтобы сумма всех чисел в каждой строке и в каждом столбике была равна 0.