Сколькими способами можно расставить на шахматной доске две одинаковые фигуры? Три одинаковые фигуры?...

Чтобы ответить на вопрос о том, сколькими способами можно расставить на шахматной доске две, три или четыре одинаковые фигуры, необходимо учитывать несколько факторов. Во-первых, шахматная доска состоит из 8x8=64 клеток. Во-вторых, мы предполагаем, что фигуры различимы только по их позиции на доске.

Две одинаковые фигуры

Для размещения двух одинаковых фигур на шахматной доске:

1. Первую фигуру можно поставить на любую из 64 клеток.
2. Вторую фигуру можно поставить на любую из оставшихся 63 клеток.

Итак, общее количество способов размещения двух фигур равно произведению этих чисел:

[ 64 \times 63 = 4032 ]

Однако, поскольку фигуры одинаковые и их порядок не имеет значения, каждое размещение будет посчитано дважды (первая фигура на клетке A, вторая на клетке B и наоборот). Поэтому делим результат на 2:

[ \frac{4032}{2} = 2016 ]

Таким образом, существует 2016 способов разместить две одинаковые фигуры на шахматной доске.

Три одинаковые фигуры

Для размещения трёх одинаковых фигур:

1. Первую фигуру можно поставить на любую из 64 клеток.
2. Вторую фигуру можно поставить на любую из оставшихся 63 клеток.
3. Третью фигуру можно поставить на любую из оставшихся 62 клеток.

Общее количество способов размещения трёх фигур:

[ 64 \times 63 \times 62 = 249984 ]

Так как фигуры одинаковые, каждое размещение будет посчитано 6 раз (по числу перестановок трёх фигур):

[ 3! = 6 ]

Поэтому делим результат на 6:

[ \frac{249984}{6} = 41664 ]

Итак, существует 41664 способа разместить три одинаковые фигуры на шахматной доске.

Четыре одинаковые фигуры

Для размещения четырёх одинаковых фигур:

1. Первую фигуру можно поставить на любую из 64 клеток.
2. Вторую фигуру можно поставить на любую из оставшихся 63 клеток.
3. Третью фигуру можно поставить на любую из оставшихся 62 клеток.
4. Четвёртую фигуру можно поставить на любую из оставшихся 61 клетки.

Общее количество способов размещения четырёх фигур:

[ 64 \times 63 \times 62 \times 61 = 9289728 ]

Так как фигуры одинаковые, каждое размещение будет посчитано 24 раза (по числу перестановок четырёх фигур):

[ 4! = 24 ]

Поэтому делим результат на 24:

[ \frac{9289728}{24} = 387072 ]

Таким образом, существует 387072 способа разместить четыре одинаковые фигуры на шахматной доске.

Итог

• Две одинаковые фигуры: 2016 способов.
• Три одинаковые фигуры: 41664 способа.
• Четыре одинаковые фигуры: 387072 способа.

Для расстановки двух одинаковых фигур на шахматной доске есть всего один способ. Например, это может быть две одинаковые пешки.

Для трех одинаковых фигур на доске, можно расставить их всего одним способом, так как все фигуры одинаковы. Например, это могут быть три одинаковые ладьи.

Если рассматривать четыре одинаковые фигуры, то также существует только один способ их расстановки на доске. Например, четыре одинаковые ферзя.