Сколько элементарных событий в серии из 8 испытаний Бернулли благоприятствует: а) 2 успехам б) 6 успехам...

Испытания Бернулли — это последовательность независимых экспериментов, каждый из которых имеет два возможных исхода: успех (с вероятностью ( p )) и неудача (с вероятностью ( 1 - p )). В серии из ( n ) испытаний Бернулли общее количество элементарных событий равно ( 2^n ). Мы рассмотрим, сколько элементарных событий (исходов) благоприятствуют определенному количеству успехов.

Число элементарных событий, благоприятствующих ( k ) успехам в ( n ) испытаниях Бернулли, можно найти с помощью биномиального коэффициента ( C(n, k) ) — это количество способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний. Формула биномиального коэффициента: [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Теперь найдем количество элементарных событий для каждого из заданных случаев:

а) 2 успехам в 8 испытаниях: [ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 ]

б) 6 успехам в 8 испытаниях: [ C(8, 6) = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 ]

в) 5 успехам в 8 испытаниях: [ C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 ]

г) 3 успехам в 8 испытаниях: [ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 ]

Итак, количество элементарных событий, благоприятствующих: а) 2 успехам — 28 б) 6 успехам — 28 в) 5 успехам — 56 г) 3 успехам — 56

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу Бернулли, которая позволяет нам вычислить количество благоприятных исходов в серии из n испытаний.

Формула Бернулли выглядит следующим образом: P(k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k), где P(k) - вероятность того, что произойдет k благоприятных исходов, C(n,k) - число сочетаний из n по k, p - вероятность благоприятного исхода, n - количество испытаний, k - количество благоприятных исходов.

Давайте применим эту формулу для каждого из вариантов:

а) Для 2 успехов: n = 8, k = 2, p = 1/2 (вероятность успеха в каждом испытании) P(2) = C(8,2) (1/2)^2 (1-1/2)^(8-2) = 28 1/4 1/256 = 7/64

б) Для 6 успехов: n = 8, k = 6, p = 1/2 P(6) = C(8,6) (1/2)^6 (1-1/2)^(8-6) = 28 1/64 1/4 = 7/512

в) Для 5 успехов: n = 8, k = 5, p = 1/2 P(5) = C(8,5) (1/2)^5 (1-1/2)^(8-5) = 56 1/32 1/8 = 7/128

г) Для 3 успехов: n = 8, k = 3, p = 1/2 P(3) = C(8,3) (1/2)^3 (1-1/2)^(8-3) = 56 1/8 1/8 = 7/64

Таким образом, вероятность благоприятного исхода для каждого из вариантов равна: а) 7/64 б) 7/512 в) 7/128 г) 7/64.

а) 28 элементарных событий б) 28 элементарных событий в) 56 элементарных событий г) 56 элементарных событий