В равнобедрунную трапецию вписана окружность которая делит боковую сторону на отрезки длиной 5 дм и...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством равнобедренной трапеции, а именно тем фактом, что основания равнобедренной трапеции равны сумме отрезков, на которые делится боковая сторона этой трапеции окружностью, вписанной в нее.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны a и b, а отрезки, на которые делится боковая сторона длиной 9 дм, равны 5 дм и 4 дм. Тогда, согласно вышеуказанному свойству, мы имеем уравнение:

a + b = 9

Так как трапеция равнобедренная, то известно, что основания равны. Поэтому a = b. Подставив это в уравнение, получаем:

2a = 9

Отсюда находим, что a = b = 4.5 дм.

Таким образом, основания равнобедренной трапеции равны 4.5 дм каждое.

Для того чтобы найти основания равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность и которая делит боковую сторону на отрезки длиной 5 дм и 4 дм, необходимо использовать некоторые свойства трапеций и окружностей, вписанных в них.

Обозначим трапецию ( ABCD ), где ( AB ) и ( CD ) — параллельные основания ( ( AB < CD ) ), а ( AD ) и ( BC ) — боковые стороны. Так как окружность вписана в трапецию, длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

Пусть ( P ) и ( Q ) — точки касания окружности с боковыми сторонами ( AD ) и ( BC ) соответственно. Тогда отрезки ( AP ) и ( PD ), а также ( BQ ) и ( QC ) равны и составляют боковые стороны трапеции.

Дано, что окружность делит боковую сторону ( AD ) на отрезки длиной 5 дм и 4 дм:

• ( AP = 5 ) дм,
• ( PD = 4 ) дм.

Следовательно, ( AD = AP + PD = 5 + 4 = 9 ) дм.

Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны, то ( BC = AD = 9 ) дм.

Теперь воспользуемся свойством, что в любой трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

То есть: [ AB + CD = AD + BC ] [ AB + CD = 9 + 9 ] [ AB + CD = 18 ]

Обозначим ( AB = a ) и ( CD = b ). Тогда у нас: [ a + b = 18 ]

Так как окружность вписана, касательные из одной точки к окружности равны. Обозначим точки касания окружности с ( AB ) как ( M ) и ( N ), с ( CD ) как ( K ) и ( L ). Тогда:

• ( AM = AN ),
• ( BM = BN ),
• ( CK = CL ),
• ( DK = DL ).

Из равенства касательных мы знаем, что: [ AM = AN = x ] [ BM = BN = y ] [ CK = CL = z ] [ DK = DL = w ]

Из равенств касательных и свойств трапеции следует: [ x + y = a ] [ z + w = b ]

Также, для равнобедренной трапеции: [ x + z = AP = 5 ] [ y + w = PD = 4 ]

Так как ( x + y = a ) и ( z + w = b ), можем выразить ( x ) и ( y ) через ( z ) и ( w ): [ x = 5 - z ] [ y = 4 - w ]

Подставим в уравнение ( a + b = 18 ): [ (x + y) + (z + w) = 18 ] [ (5 - z + 4 - w) + (z + w) = 18 ] [ 9 = 18 ]

Это уравнение всегда выполняется, что подтверждает правильность наших рассуждений.

Теперь, рассмотрим возможные значения ( x ), ( y ), ( z ), и ( w ), при которых будут выполняться все условия задачи:

( x = 5 - z ) и ( y = 4 - w ).

Из уравнений ( x + y = a ) и ( z + w = b ), можем выразить ( a ) и ( b ): [ a = x + y = (5 - z) + (4 - w) = 9 - (z + w) ] [ b = z + w ]

Так как ( a + b = 18 ): [ 9 - (z + w) + (z + w) = 18 ] [ 9 = 18 - a ]

Следовательно, основания трапеции:

• ( a = 9 - x ),
• ( b = 9 + y ).

Итак, основания равнобедренной трапеции равны 9 дм и 9 дм.