В треугольнике abc известно: угол А=30 угол В=45 АС=10 корень из двух найдите длину стороны ВС

Для того чтобы найти длину стороны BC в треугольнике ABC, воспользуемся теоремой синусов. Эта теорема гласит, что в любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противоположных углов. Формулировка теоремы синусов выглядит следующим образом:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Где:

• ( a ) — сторона BC,
• ( b ) — сторона AC,
• ( c ) — сторона AB,
• ( A ), ( B ), ( C ) — углы при вершинах A, B и C соответственно.

Из условия задачи известно:

• ( \angle A = 30^\circ )
• ( \angle B = 45^\circ )
• ( AC = 10\sqrt{2} )

Сначала найдем угол ( \angle C ), используя то, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ):

[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ ]

Теперь применим теорему синусов к треугольнику ABC:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Нам нужно найти сторону ( a ) (BC). Используем соотношение:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C} ]

Подставим известные значения:

[ \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{10\sqrt{2}}{\sin 105^\circ} ]

Зная, что ( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ):

[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sin 105^\circ} ]

[ 2a = \frac{10\sqrt{2}}{\sin 105^\circ} ]

Теперь найдем ( \sin 105^\circ ). Учитывая, что ( 105^\circ = 90^\circ + 15^\circ ) и используя формулу синуса суммы:

[ \sin 105^\circ = \sin (90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ ]

Используем формулу для косинуса разности:

[ \cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ ]

Подставим значения:

[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ]

[ \cos 15^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Теперь подставим значение ( \sin 105^\circ ):

[ 2a = \frac{10\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 10\sqrt{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} ]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение ( \sqrt{6} - \sqrt{2} ) для упрощения:

[ 2a = \frac{40\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{40\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{40\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 10\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) ]

[ 2a = 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} - 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{12} - 10\cdot2 = 20\sqrt{3} - 20 ]

Таким образом, окончательное значение:

[ a = \frac{20\sqrt{3} - 20}{2} = 10\sqrt{3} - 10 ]

Длина стороны BC (a) в треугольнике ABC равна ( 10\sqrt{3} - 10 ).

Для нахождения длины стороны ВС в треугольнике ABC, нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Сначала найдем угол C, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов: C = 180 - A - B C = 180 - 30 - 45 C = 105 градусов

Теперь применим теорему косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC cos(B) BC^2 = (10)^2 + (10√2)^2 - 2 10 10√2 cos(45) BC^2 = 100 + 200 - 200√2 * 0.7071 BC^2 = 100 + 200 - 141.42 BC^2 = 158.58 BC = √158.58 BC ≈ 12.6

Таким образом, длина стороны ВС в треугольнике ABC составляет примерно 12.6.